ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 81. ЦИЛИНДР.
1. Образование цилиндра.
В окружающей нас действительности встречается много предметов, имеющих форму цилиндра, например ведро (черт. 341), консервная банка (черт. 342), пенал (черт. 343), кусок проволоки круглого сечения и т. д.
Цилиндр может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (черт. 344, 345).
Цилиндр имеет два основания, которые являются кругами, и боковую поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью (черт. 346).
2. Развёртка цилиндра.
Если боковую поверхность цилиндра развернуть и положить на плоскость, то получим прямоугольник (черт. 347).
Развёртка полной поверхности цилиндра состоит из прямоугольника, длина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота - высоте цилиндра и двух кругов (черт. 348).
3. Площадь поверхности цилиндра.
Площадь каждого основания цилиндра равна πr 2 , площадь обоих оснований составит 2πr 2 (черт. 348).
Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, основание которого равно 2πr , а высота равна высоте цилиндра h , т. е. 2πrh .
Полная поверхность цилиндра составит: 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h ).
Упражнения.
1. Радиус оснований цилиндра равен 8 см, высота его -20 см. Вычислить:
а) сумму площадей его оснований,
б) площадь его боковой поверхности,
в) полную поверхность цилиндра.
2. Водосточная труба имеет в поперечнике 20 см, её длина - 12 м. Сколько листов оцинкованного железа нужно заготовить для такой трубы, если площадь каждого листа равна 2 кв. м, а отходы при работе составляют 10% заготовленного железа?
3. Сколько листов белой жести потребуется на устройство цилиндрического бака с крышкой, если радиус основания бака должен быть 0,40 м, а высота бака - 0,75 м? На отходы при работе требуется добавить к площади поверхности бака 5%. Площадь одного листа белой жести равна 1,8 кв. м.
4. Выполнив необходимые измерения, вычислить боковую и полную поверхности модели цилиндра, имеющегося в математическом кабинете школы.
4. Объём цилиндра.
Объём цилиндра вычисляют по той же формуле, что и объём прямой призмы, т. е. для вычисления объёма цилиндра площадь его основания (πr 2) умножают на высоту h .
V цилиндра = πr 2 h
Получение формулы объёма цилиндра можно пояснить таким рассуждением. Пусть дан цилиндр, впишем в него прямую призму, т. е. построим внутри цилиндра такую прямую призму, основаниями которой служат многоугольники, вписанные в основание цилиндра (черт. 349).
Вершины таких многоугольников лежат на окружностях оснований цилиндра. Объём (V") этой призмы выразится формулой V" = S"h , где S"- площадь основания призмы, h - высота призмы. Если при этом за основание призмы взять многоугольник с очень большим числом очень малых сторон, то площадь основания призмы будет весьма мало отличаться от площади круга, служащего основанием цилиндра, а объём призмы будет весьма мало отличаться от объёма цилиндра. Если пренебречь этими различиями в размерах, то объём цилиндра (V) выразится следующей формулой: V = Sh , где S - площадь основания цилиндра, h - его высота.
Заменив S через πr 2 , где r - радиус основания цилиндра, получим формулу объёма цилиндра: V = πr 2 h .
Примечание. В формуле V = Sh поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах средней школы доказывается, что равенство V = Sh точное, а не приближённое.
Упражнения.
1. Вычислить объём цилиндра, если диаметр его основания равeн 16 см, а высота цилиндра равна 25 см.
2. Сколько кубических дециметров (литров) воды помещается в баке, имеющем форму цилиндра, если радиус основания его равен 30 см, высота равна 0,6 м?
3. Бревно имеет цилиндрическую форму. Диаметр его основания равен 30 см. Длина бревна - 7,2 м. Сколько кубометров древесины содержит это бревно?
4. Цистерна для молока имеет цилиндрическую форму. Диаметр основания её равен 1,2 м. Длина цистерны - 2 м. Сколько литров молока может вместить эта цистерна?
5. Сколько весит стальной вал цилиндрической формы, если радиус его основания равен 75 мм, а длина -1,6 м и если кубический дециметр его весит 7,8 кг?
6. Вычислить объём модели цилиндра, имеющегося в школьном математическом кабинете.
7. Вычислить объём ведра, употребляемого в домашнем хозяйстве и имеющего форму цилиндра.
Цилиндр двигателя - обработанное отверстие в блоке цилиндров, внутри которого движется поршень. В случае, если блок цилиндров выполнен из алюминия, внутрь цилиндра впрессовывается вставка-гильза из тугоплавкого материала.
Классический пример цилиндра - оружейный ствол. Пуля, как поршень, движется вдоль его стенок под воздействием энергии расширяющихся газов
Двигатели, , движущегося внутри закрытого ложа цилиндрической формы, известны с давних пор. На этом принципе еще два века назад строились «двигатели горячего воздуха», к примеру, двигатель Стирлинга, или еще более старые тепловые машины. Применительно к автомобилю мы знакомы с цилиндром как с частью двигателя внутреннего сгорания. Однако и таких двигателей разных конструкций наберется не менее двух десятков. Но, несмотря на явные различия во внешнем виде и конструкции, их объединяет одна общая исходная деталь – цилиндр. Она может быть разной формы, и даже не цилиндрической. Тем не менее, она есть всегда.
Цилиндр как основа двигателя
В цилиндре происходят все важнейшие процессы получения и преобразования энергии, необходимой для движения автомобиля. Цилиндр, по сути, связующее звено двух энергий: в нем энергия сгорания топлива переходит в энергию движения, вращающего коленчатый вал.
Цилиндр во время работы испытывает колоссальные нагрузки. С одной стороны это высокая температура и давление расширяющихся газов, с другой стороны высокая скорость движения поршня, которая достигает 8 метров в секунду.При сгорании топлива в цилиндрах образуется такое огромное количество тепловой энергии, что двигатель приходится охлаждать даже когда на улице -25 градусов
Этот процесс можно сравнить с оружейным выстрелом, где пороховые газы толкают пулю, разгоняющуюся в стволе, (кстати, тоже имеющем форму цилиндра) до дульной скорости от 300 до 1000 метров в секунду, в зависимости от длины ствола. К тому же с огромной частотой, как, например, в пистолете-пулемете "Венус", до 2500 выстрелов в минуту.И если на спортивном автомобиле группа цилиндров должна выдержать один рекордный заезд, то в обычном легковом автомобиле от цилиндров требуется работа в течение многих лет, без потери мощности, динамики и других показателей.Поэтому инженеры автомобильных компаний вынуждены постоянно решать две основные проблемы, связанные с надежностью цилиндров – отвод тепла и смазывание поверхности, вдоль которой движется поршень.
Конструкция цилиндра
В первых двигателях внутреннего сгорания каждый цилиндр находился внутри отдельного корпуса. Такая конструкция сохранилась и в наши дни и используется, к примеру, при создании мотоциклетных двигателей. В этом случае она не утратила актуальности, потому что для охлаждения открытых со всех сторон двигателей мотоциклов применяется воздух. В автомобильных двигателях все цилиндры объединены в единый прочный корпус, .
Для того, чтобы цилиндр двигателя мог выдерживать высоки нагрузки он выполняется из прочного материала - чугуна или специальной стали с различными присадками. Ради снижения веса современные блоки часто делают из алюминия. В этом случае внутренняя часть цилиндра выполняется в виде прочной стальной гильзы, запрессованной в блок.Внутренняя поверхность цилиндра, непосредственно контактирующая с движущимся поршнем, выполняется из металла со специальными добавками для повышения прочности.Внешняя часть цилиндра, составляющая единое целое с корпусом блока, называется рубашкой. Внутри рубашки .Чтобы облегчить поршню скольжение внутри цилиндра, разработчики BMW предложили покрывать стенки цилиндров Никасилом - специальным сплавом, позволяющим обходиться без гильз в алюминиевом блоке
В двухтактных двигателях цилиндры имеют несколько иную конструкцию и отличаются от цилиндров четырехтактных двигателей наличием окон – впускных и продувочных. Помимо этого в нижней части цилиндра двухтактного двигателя имеется пластина для создания нижнего рабочего пространства под поршнем.
Системы охлаждения цилиндров
Для отвода избыточного тепла от цилиндра двигателя предусмотрена система охлаждения, которая может быть либо воздушной, либо жидкостной.Воздушное охлаждение снаружи покрыты множеством ребер, которые обдуваются встречным или созданным искусственно посредством воздухозаборников потоком воздуха, отводящим тепло от цилиндра.Причудливый рисунок на внутренней поверхности цилиндра называется хоном, потому что для его нанесения используется хонинговальный станок
Жидкостное охлаждение При цилиндры снаружи омываются циркулирующей в толще блока охлаждающей жидкостью. Нагретые цилиндры отдают часть тепла жидкости, которая в дальнейшем попадает в радиатор, охлаждается и вновь подается к цилиндрам.Система смазки цилиндров
Качественное смазывание стенок – вторая по значимости проблема после отвода тепла. Если цилиндр не смазывать изнутри, поршень попросту заклинит, что приведет к немедленному разрушению двигателя.Для удержания стабильной масляной пленки на зеркале (внутренней поверхности) цилиндров, он подвергается хонингованию – нанесению микросетки на внутреннюю стенку. Благодаря наличию такой сетки на стенках всегда присутствует слой масла, что снижает трение (поршень-цилиндр), отводит излишки тепла и увеличивает в разы пробег до капитального ремонта.Нестандартные покрытия цилиндра
Разработчики применяют новейшие технологии и материалы для упрочнения зеркала цилиндра и его износостойкости.Самый большой объем автомобильного двигателя – 117 литров. Такой огромный объем реализован в двигателе карьерного самосвала с 24 цилиндрами
Так внедрение кристаллов кремния в зеркало цилиндра многократно подняло ресурс двигателя, но одновременно и повысило требования к качеству масла и соблюдению температурного режима. Первые двигатели, созданные с применением этой технологии, были непригодными для ремонта и слишком дорогими. Дальнейшие разработки в этой области позволили несколько улучшить ситуацию в плане ремонтопригодности. Вместо того чтобы покрывать специальным составом поверхность цилиндров, выточенных в толще металла, в блок начали устанавливать подлежащие замене гильзы с напылением кремния.
Типовые технические характеристики цилиндров автомобильных двигателей
ЦИЛИНДР прямой круговой Боковая поверхность Основания цилиндра О1О1 О ά β Ось цилиндра образующая h (высота) r (радиус) Определение: прямым круговым цилиндром называется цилиндр, у которого в основании лежат равные круги, а образующая перпендикулярна основаниям ά||β
3. Радиусом цилиндра называется радиус его основания 4. Высота цилиндра- расстояние между плоскостями оснований в прямом цилиндре она совпадает с образующей 5. Ось цилиндра- прямая, проходящая через центры оснований, Она параллельна образующим. 1. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, заключенная между параллельными плоскостями 2. Основания- часть плоскостей, отсекаемых цилиндрической поверхностью,
АD ВС Рис.1 Прямой круговой цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. на рисунке 1 – цилиндр получен вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ на рисунке 2- цилиндр получен вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны AD А D В С Рис.2
АВВ 1 А 1 - прямоугольник В А1А1 В1В1 А 2πr2πr h S бок = 2πrh S полн = S бок + 2 S осн => S полн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Боковая и полная поверхность цилиндра h А В r S полн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Боковая и полная поверхность цилиндра h А В r"> S полн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Боковая и полная поверхность цилиндра h А В r"> S полн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Боковая и полная поверхность цилиндра h А В r" title="АВВ 1 А 1 - прямоугольник В А1А1 В1В1 А 2πr2πr h S бок = 2πrh S полн = S бок + 2 S осн => S полн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Боковая и полная поверхность цилиндра h А В r"> title="АВВ 1 А 1 - прямоугольник В А1А1 В1В1 А 2πr2πr h S бок = 2πrh S полн = S бок + 2 S осн => S полн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Боковая и полная поверхность цилиндра h А В r">
H r h1h1 r1r1 «Боковые и полные поверхности подобных цилиндров относятся как квадраты радиусов или высот» Теорема: Определение: «Цилиндры называются подобными, если они произошли от вращения подобных прямоугольников» S бок 1 = r 1 ² = h1²h1² S бок r²h² = S полн S полн 1
Задача Первый вариант Вычислите полную и боковую поверхность цилиндра, полученного вращением квадрата со стороной, равной 1 см (ответ дать, не вычисляя значения π) Второй вариант Вычислите полную и боковую поверхность цилиндра, радиус которого равен 1 дм, а высота 2 дм (ответ дать, не вычисляя значения π)
Ответь на вопросы 1. Назови элементы цилиндра 2.Назови вид осевого сечения цилиндра 3. Может ли сечение цилиндра быть: прямоугольником квадратом трапецией? 4.Какие из данных утверждений верны: любое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию есть окружность, равная окружности основания; любое сечение цилиндра плоскостью есть окружность, равная окружности основания; плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его по кругу, равному основанию цилиндра; сечением цилиндра могут быть круг, прямоугольник, эллипс.
Ответь на вопросы 1.Назови элементы цилиндра (боковая поверхность, основание, ось, радиус, образующая, высота). 2.Назови вид осевого сечения цилиндра 3. Может ли сечение цилиндра быть: -прямоугольником (да) -квадратом (да) -трапецией?(нет) 4.Какие из данных утверждений верны: -любое сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию есть окружность, равная окружности основания; (неверно) -любое сечение цилиндра плоскостью есть окружность, равная окружности основания; (неверно) --плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его по кругу, равному основанию цилиндра; (верно) -сечением цилиндра могут быть круг, прямоугольник, эллипс.(верно)
Список используемых материалов 1)Учебник «Геометрия 10-11», Л.С. Атанасян и др., Москва,Просвещение)Справочник по математике А.А Рывкин и др, Москва, Высшая школа)Математика. Справочные материалы В.А.Гусев, А.Г.Мордкович Москва, Просвещение)Энциклопедический словарь юного математика Москва Педагогика 1989 Автор: Щукина Ирина Владимировна Учитель математики ЯНАО, г.Надым МОУ СОШ 5
Цилиндр автомобильного двигателя представляет собой трубку с толстыми стенками. Это одна из основных частей поршневого двигателя внутреннего сгорания , который является самым распространенным типом двигателя. Поршневой двигатель используется в разных видах транспорта , сельскохозяйственной и строительной технике, компрессорах, насосах и т.д.В разных поршневых двигателях может быть от 1 до 24 цилиндров. При этом общий объем двигателя равен суммарному объему всех цилиндров. Цилиндр состоит из двух частей: внутренней (гильзы) и внешней (рубашки). Гильза называется рабочей поверхностью цилиндра и отливается из высокопрочного чугуна или стали. Гильзу называют зеркалом цилиндра, она имеет очень большую чистоту.Рубашка цилиндра – это его внешняя часть, которая обычно изготавливается из единого материала со станиной двигателя. Когда цилиндров больше одного, они располагаются в двигателе единым блоком, имея общее зарубашечное пространство. В этом случае рубашки всех цилиндров представляют собой целую отливку и называются блоком цилиндров.Во время работы двигателя в цилиндр поступают продукты сгорания топлива в газообразном состоянии. Эти газы расширяются и их возрастающая тепловая энергия двигает поршень, который вставлен в цилиндр. Движение поршня в свою очередь заставляет вращаться коленчатый вал, количество колен которого обычно совпадает с числом цилиндров. Полный рабочий цикл двигателя представляет собой последовательность тактов, т.е. этапов полного движения поршня из одной крайней точки в другую.Во время работы двигатель сильно нагревается, поэтому предусматривается система охлаждения, которое происходит в рубашечном отделе цилиндров. Различают два типа системы охлаждения поршневых двигателей :1. Воздушная. Избыток тепловой энергии выбрасывается в быстрый поток воздуха через рубашки цилиндров, которые имеет ребристую поверхность.2. Жидкостная. Для охлаждения используется специальная жидкость, которая проходит через рубашку цилиндра, а затем уходит в радиатор охлаждения , в котором снова охлаждается системой вентиляции. Охлаждающей жидкостью может быть масло, вода или антифриз .Основные характеристики цилиндров поршневого двигателя:- рабочий объем – это объем, который высвобождается поршнем при движении от крайней верхней точки до крайней нижней;- полный объем – это объем пространства, находящегося над поршнем, когда он достигает крайнего нижнего положения. Полный объем складывается из рабочего объема и объема камеры сгорания.Литраж многоцилиндрового двигателя можно вычислить через произведение рабочего объема на количество цилиндров.
10. Анализ геометрической формы предмета
На рисунке 72 вы видите изображения некоторых геометрических тел. Форма каждого из них имеет свои характерные признаки. По этим признакам мы отличаем цилиндр от конуса, а конус от пирамиды. С большинством этих тел вы знакомы. Мы говорим «куб», и каждый представляет себе его форму. Говорим «шар», и опять в нашем сознании возникает образ определенного геометрического тела.
Присмотритесь к окружающим нас предметам. Они имеют форму геометрических тел или представляют собой их сочетания.
Рис. 72. Геометрические тела
Рис. 73. Различные детали имеют в своей основе геометрические тела
В основе формы деталей машин и механизмов также находятся геометрические тела. Взгляните на рисунок 73. Здесь изображены различные детали. Часть из них самой простой формы. Скажите, какую форму имеют ось и ролик. А какова форма прокладки?
О таких деталях, как ось и ролик, мы скажем, что они цилиндрические, а о прокладке - что она призматическая.
Другие детали имеют более сложную форму. Они представляют собой совокупность геометрических тел. Например, валик (рис. 73) образуется в результате добавления к цилиндру другого цилиндра меньших размеров. А втулка представляет собой цилиндр, из которого удален другой цилиндр меньшего диаметра.
Труднее понять по чертежу форму более сложной детали, например вилки.
Как легче определить форму предмета по чертежу? Для этого сложную по форме деталь мысленно расчленяют на отдельные составляющие ее части, имеющие форму различных геометрических тел. Рассмотрим пример.
На рисунке 74, а дано изображение опоры. Какова ее форма? Она слагается из прямоугольного параллелепипеда, двух полуцилиндров и усеченного конуса. В детали имеется цилиндрическое отверстие (рис. 74, б). После такого «расчленения» форму детали определить легче.
Мысленное расчленение предмета на составляющие его геометрические тела называют анализом геометрической формы.
1.
Какие геометрические тела вам известны?
2.
Назовите предметы, имеющие форму шара, цилиндра, конуса, призмы.
3.
Как называется процесс мысленного расчленения предмета на геометрические тела, образующие его поверхность?
4.
Для чего нужен анализ геометрической формы предмета?
19.
Определите, поверхности каких геометрических тел образуют форму предметов, изображенных на рисунке 75, а - г
Загрузка...
